Недавно Иван Дембицкий опубликовал в конференции RuFlash ссылочку на свою теорему, которую он сформулировал в процессе написания пакета классов geom для flash. Внешняя простота этой теоремы обманчива: первым же следствием является тот факт, что окружности девяти точек больше не существует.
Точнее, сейчас это название является устаревшим, поскольку сейчас это окружность пятнадцати точек.
Благодаря теореме, окружность Эйлера открывается новой гранью, как инструмент связи треугольника, образующего кривую Безье второго порядка (или сегмент параболы) и параболу. К сожалению, новостной формат блога не позволяет рассказать подробнее, поэтому ждем статьи от Ивана.
Ив, лично я не понял из твоего рисунка, почему это MCd - должен быть диаметром окружности 9т для SCE?
Ив, все же до сих пор интересно, объясни. С чего ты взял, что точка Cd(пересечение директриссы твоей параболы и высоты) - будет также являться точкой пересечения высот треугольника?...по-моему это заблуждение
Без доказательства - это всего лишь гипотеза Всеже, требую выложить доказательство :) если оно есть
Василий, Ив, кажется, сможет ответить на вопрос попозже -- когда вернется из отпуска ;)
Какой большой у него отпуск :-)
сижу в анапе на диалапе :) буду в москве в начале сентября iv
пысы: отуск немалый получился. ужо устал отдыхать, рвысь в бой.
Пока Иван в Анапе, я за него докажу.
Делется это так: Поворачиваем рисунок так, чтобы директрисса лежала горизонтально, а ось параболы вертикально. Вводим систему координат, где пересечение директриссы и оси параболы - начало координат, одиректрисса это ось Х, ось параболы это ось У. Теперь берем за данные координаты фокуса, и координаты по Х точек S и E. Находим формулу параболы в этой системе координат. По ней определяем Y точек S и E. Затем вычисляем координаты точки C. Затем находим середины сторон и строим окружность 9 точек - вычисляем ее центр и радиус. Потом находим точку Md как пересечение MC и директриссы (кстати, MC всегда параллельна оси параболы, это есть теорема такая). Проверяем, что M лежит на окружности. Строим прямую, перпендикулярную SE и проходящую через C. Ее пересечение с директриссой это Cd. Проверяем, что Cd лежит на окружности. Специально для Василия проверяем, что MCd в 2 раза больше найденного радиуса.
Все эти вычисления проделываются в общем виде (!!!) чтобы это было действительным доказательством. Переменными будут Fy, Sx и Ex. Все остальное как я показал через них выражается. Разумеется это я не руками проделал, а на Maple. Если кому интересно - могу сбросить программу. Пишите.
Иван, давай возвращайся скорей, нас ждут великие дела :)
А точку C вы как находите? Как пересечение прямой MMd, перпендикуляра к SE и одновременно тангента параболы? Откуда уверенность в том, что они сойдутся в одной точке?
Нет, C нахожу как Иван описал - это пересечение касательных. Касательные вывожу уравнением касательной к параболе в точке y = y'(x0)*(x-x0)+y(x0) где y(x) - это уравнение кривой (в нашем случае - параболы), а точка x0 это точка касания.
И пересечение есть C.
А то, что "прямая проведенная через середину хорды и точку пересечения касательных к кривой в опорных точках хорды параллельна оси параболы" - это не использовалось в моем доказательстве, но это доказанный факт. Иван скажет, чья теорема, я не помню.
Пусть s=Sx, e=Ex, f=Fy/2, а систему координат возьмем не на директриссе а чуть выше, у основания параболы. Тогда: Формула параболы: y=(x^2)/(4f) Очевидно, что: Mx=(s+e)/2 (1) Производная: y'=x/(2f)
И касательные в точках: S: ys = s(x-s)/(2f)+(s^2)/(4f) или, что тоже самое: ys = s(2x-s)/(4f); аналогично: E: ye = e(2x-e)/(4f);
Их точка пересечения C: ys = ye, а отсюда Cx = (s+e)/2 обнаружим из (1) что: Cx = Mx Т.е. теорема, имя автора которого знает Ив доказана...
Остальное тоже тада похоже на правду...
Рост, а если треугольник строить правильным образом на эллипсе, гиперболе...то можно и до 36 точек дойти :)
Все верно - вот вы и доказали неназванную теорему:)
Вообще координатный метод в обращении с кривыми это очень полезный инструмент.
А насчет полезности придуманной Иваном теоремы - скажу следующее. Цитата с http://mathworld.wolfram.com/Nine-PointCircle.html:
The nine-point circle, also called Euler's circle or the Feuerbach circle, is the circle that passes through the perpendicular feet , , and dropped from the vertices of any reference triangle on the sides opposite them. Euler showed in 1765 that it also passes through the midpoints , , of the sides of . By Feuerbach's theorem, the nine-point circle also passes through the midpoints , , and of the segments that join the vertices and the orthocenter . These points are commonly referred to as the Euler points.
Скоро в продолжении списка будет сказано и о Дембицком. Потому что никто не связывал эту теорему с параболой. А связать можно так: "Если для треугольника построить окружность 9 точек, и построить на нем кривую Безье 2 порядка, то директрисса параболы, продолжающей эту кривую, пересечет окружность в 2 примечательных точках, которые можно получить не опираясь на окружность."
То есть вклад Ивана примерно такой же, как Фейербаха.
я вернулся из отпуска, всем, кто хочет поколупаться в проблеме предлагаю уйти в приват и общими усилиями выдать на гора статейку. мой мыл, для тех, кто еще не знает: iv собака design точка ru
2Sergeyev: про Фейербаха ты это круто загнул :)
теорема и доказательство: http://www.sharedfonts.com/geom/
